—d1899

2149475-302895
دانشکده علوم پایه
گروه فیزیک هستهای
پایان نامه دوره کارشناسی ارشد در رشته فیزیک هستهای
موضوع:
مطالعه چگالي تراز هستهاي با استفاده از مدل لایهای
استاد راهنما:
دکتر محمد رضا پهلوانی
استاد مشاور:
دکتر امید ناصر قدسی
نام دانشجو:
الهام فرهادی
شهریور 92
سپاسگزاری
با سپاس از آنان که:
لحظات ناب باور بودن، لذت و غرور دانستن، جسارت خواستن، عظمت رسیدن به تمام تجربه های یکتا و زیبای زندگیم، مدیون حضور سبز آنهاست
خانواده عزیزم
استاد گرامی
و جناب آقای سید علیرضا علوی

تقدیم به:
خانواده بزرگوار و استاد عزیزم….
چکیده:
چگالی تراز هستهاي به عنوان یکی از پارامترهاي مهم در بررسی ساختار هسته و برهمکنشهای هستهای محسوب میشود. مدل BSFGM يكي از مدلهاي شناخته شده چگالي تراز هسته به حساب ميآيد و دربرگيرنده جابجايي انرژی برانگیختگی و پارامتر چگالي تراز ميباشد. در این مطالعه، پارامتر چگالی تراز با استفاده از مدل نيمه كلاسيكي و با تعيين چگالی تراز تک ذرهای در انرژی فرمی به ازاي انرژي پتانسيل هستهاي ميدان متوسط براي پتانسيل هاي چاه مربعي متناهي، نوسانگر هماهنگ و وودز-ساكسون بصورت مستقيم محاسبه شده است. وابستگی این پارامتر به انرژی نیز بررسی شده است. از مقايسه نتايج مستقيم بدست آمده با مقادير برازش شده براي پارامتر چگالی تراز، همخواني خوبي مشاهده ميشود.
پارامتر قطع اسپین نیز محاسبه شده است و وابستگی این پارامتر به دمای هسته و انرژی مورد بررسی قرار گرفته است. پارامتر دیگر E1 نیز از طریق روش برازش محاسبه شده است. در این روش اثر پتانسیل کولنی روی چگالی تراز تک ذرهای، پارامتر چگالی تراز و پارامتر قطع اسپین مورد بررسی قرار گرفته است.
واژههای کلیدی:
چگالی تراز هستهای، چگالی تراز تک ذرهای، مدل نیمه کلاسیکی، مدل جابجایی گاز فرمی، انرژی فرمی
فهرست مطالب
عنوان صفحه
TOC \o “1-3” \h \z \u فصل اول1
HYPERLINK \l “_Toc365698531” مقدمه PAGEREF _Toc365698531 \h 2
1-1 مدل های هستهای PAGEREF _Toc365698532 \h 51- 2 مدل قطره مایع PAGEREF _Toc365698533 \h 51-3 مدل لایهای PAGEREF _Toc365698534 \h 6فصل دوم PAGEREF _Toc365698535 \h 8چگالی تراز تک ذرهای PAGEREF _Toc365698536 \h 92-1 روش جابجایی فاز PAGEREF _Toc365698537 \h 112-2 روش تابع گرین PAGEREF _Toc365698538 \h 142-3 روش هموار PAGEREF _Toc365698539 \h 152-4 روش نیمه کلاسیکی PAGEREF _Toc365698540 \h 8فصل سوم PAGEREF _Toc365698541 \h 263-1 چگالی تراز هستهای و پارامترهای وابسته به آن PAGEREF _Toc365698542 \h 273-2 مدل گاز فرمی (FGM)333-3 مدل جابجایی گاز فرمی (BSFGM) PAGEREF _Toc365698544 \h 353-4 مدل جابجایی گاز فرمی با a وابسته به انرژی (BSFGM-ED)373-5 مدل دمای ثابت (CTM) PAGEREF _Toc365698546 \h 383-6 مدل ابر شاره (GSM) PAGEREF _Toc365698547 \h 393-7 مشاهده پذیرها PAGEREF _Toc365698548 \h 403-8 روشهای برازش PAGEREF _Toc365698549 \h 413-9 اثرات تجمعی در چگالی تراز PAGEREF _Toc365698550 \h 51فصل چهارم PAGEREF _Toc365698551 \h 55نتیجه گیری PAGEREF _Toc365698552 \h 56
فهرست شکلها
عنوان صفحه TOC \h \z \c “شکل 2-”
شکل 2-1 نمودار چگالی تراز تک ذرهای با استفاده از روش نیمه کلاسیکی برای چاه پتانسل مربعی PAGEREF _Toc365780883 \h 20شکل 2-2 نمودار پتانسیل نوسانگر هماهنگ PAGEREF _Toc365780884 \h 21شکل 2-3 نمودار پتانسیل وودز-ساکسون PAGEREF _Toc365780885 \h 22شکل 2-4 نمودار چگالی تراز تک ذرهای برحسب انرژی برای پتانسیل وودز-ساکسون PAGEREF _Toc365780886 \h 23شکل 2-5 نمودار تعداد حالتهای با انرژی کمتر از E بر حسب انرژی PAGEREF _Toc365780887 \h 25شکل 3-1 صحیح لایهای برحسب عدد جرمی PAGEREF _Toc365779881 \h 29شکل 3-2 پارامتر قطع اسپین برحسب عدد جرمی PAGEREF _Toc365779882 \h 32شکل 3-3 تصحیح لایهای نوترونی برحسب N عدد نوترونی PAGEREF _Toc365779883 \h 36شکل 3-4 تصحیح لایهای پروتونی برحسب Z عدد پروتونی PAGEREF _Toc365779884 \h 36شکل 3-5 پارامترهای چگالی تراز پدیده شناختی برای سه مدل موردنظر PAGEREF _Toc365779885 \h 46شکل 3-6 مقادیر محاسبه شده و برازش شده پارامترهای مدل جابجایی گاز فرمی PAGEREF _Toc365779886 \h 50شکل 3-7 مقادیر محاسبه شده و برازش شده پارامترهای مدل جابجایی گاز فرمی وابسته به انرژی PAGEREF _Toc365779887 \h 50شکل 3-8 مقادیرمحاسبه شده و برازش شده پارامترهای مدل دمای ثابت PAGEREF _Toc365779888 \h 51شکل 4-1 تغییرات چگالی تراز تک ذرهای نوترونی بر حسب انرژی PAGEREF _Toc365774793 \h 58شکل 4-2 تغییرات چگالی تراز تک ذرهای نوترونی برحسب انرژی PAGEREF _Toc365774794 \h 59شکل 4-3 چگالی تراز تک ذرهای نوترونی برحسب انرژی PAGEREF _Toc365774795 \h 60شکل 4-4 چگالی تراز تک ذرهای نوترونی با اعمال پتانسیل وودز-ساکسون برحسب عدد جرمی PAGEREF _Toc365774796 \h 63شکل 4-5 چگالی تراز تک ذرهای پروتونی با اعمال پتانسیل وودز-ساکسون برحسب عدد جرمی PAGEREF _Toc365774797 \h 63شکل 4-6 چگالی تراز تک ذرهای نوترونی با اعمال پتانسیل نوسانگر هماهنگ برحسب عدد جرمی PAGEREF _Toc365774798 \h 64شکل 4-7 چگالی تراز تک ذرهای پروتونی با اعمال پتانسیل نوسانگر هماهنگ برحسب عدد جرمی PAGEREF _Toc365774799 \h 64شکل 4-8 چگالی تراز تک ذرهای پروتونی برحسب عدد جرمی PAGEREF _Toc365774800 \h 65شکل 4-9 نمودار پارامتر چگالی تراز با استفاده از پتانسیل وودز-ساکسون و تاثیر پتانسیل کولنی PAGEREF _Toc365774801 \h 68شکل 4-10 نمودار پارامتر چگالی تراز با استفاده از پتانسیل نوسانگر هماهنگ و تاثیر پتانسیل کولنی PAGEREF _Toc365774802 \h 69شکل 4-11 نمودار پارامتر قطع اسپین و تاثیر پتانسیل کولنی روی این پارامتر PAGEREF _Toc365774803 \h 72شکل 4-12 نمودار پارامتر قطع اسپین برحسب دمای هسته PAGEREF _Toc365774804 \h 73شکل 4-13 نمودار پارامتر قطع اسپین برحسب انرژی برانگیختگی PAGEREF _Toc365774805 \h 74 TOC \h \z \c “شکل 3-”
TOC \h \z \c “شکل 4-”

فهرست جدولها
عنوان صفحه
TOC \h \z \c “جدول (3-” جدول 3- 1 پارامترهای برازش شده برای سه مدل دمای ثابت، جابجایی گاز فرمی و مدل جابجایی گاز فرمی وابسته به انرژی برای تعدادی هسته PAGEREF _Toc365932758 \h 44 TOC \h \z \c “جدول(4-” جدول 4- 1 چگالی تراز تک ذرهای پروتونی و نوترونی در انرژی فرمی برای هستههای مختلف مربوط به پتانسیل وودز-ساکسون بدون در نظر گرفتن پتانسیل کولنی و با اعمال آن……………………………………………………………………………………………………… PAGEREF _Toc365933144 \h 56جدول 4- 2 چگالی تراز تک ذرهای پروتونی و نوترونی در انرژی فرمی برای هستههای مختلف مربوط به پتانسیل نوسانگر هماهنگ بدون در نظر گرفتن پتانسیل کولنی و با اعمال آن PAGEREF _Toc365933145 \h 62جدول 4- 3 پارامتر چگالی تراز a با اعمال پتانسیل وودز-ساکسون برای تعدادی از هستههای سبک، نیمه سنگین و سنگین، با در نظر گرفتن پتانسیل کولنی و بدون پتانسیل کولنی PAGEREF _Toc365933146 \h 66جدول 4- 4 پارامتر چگالی تراز a با اعمال پتانسیل نوسانگر هماهنگ برای تعدادی از هستههای سبک، نیمه سنگین و سنگین، با در نظر گرفتن پتانسیل کولنی و بدون پتانسیل کولنی PAGEREF _Toc365933147 \h 67جدول 4- 5 پارامتر چگالی قطع اسپین با اعمال پتانسیل وودز-ساکسون برای تعدادی از هستههای سبک، نیمه سنگین و سنگین، با در نظر گرفتن پتانسیل کولنی و بدون پتانسیل کولنی PAGEREF _Toc365933148 \h 67جدول 4- 6 پارامتر چگالی قطع اسپین با اعمال پتانسیل نوسانگر هماهنگ برای تعدادی از هستههای سبک، نیمه سنگین و سنگین، با در نظر گرفتن پتانسیل کولنی و بدون پتانسیل کولنی PAGEREF _Toc365933149 \h 71جدول 4- 7 مقادیر برازش شده برای جابجایی انرژی برانگیختگی و ثابت η. PAGEREF _Toc365933150 \h 71
فصل اول
مقدمه
مقدمهچگالی تراز تک ذرهای، g یکی از عناصر مهم در بررسی ساختار هسته میباشد، زیرا در تعیین چگالی تراز هسته، ρ نقش مهمی دارد. در بررسی چگالی تراز تک ذرهای از روشهای مختلفی استفاده شدهاست که از آن جمله به روشهای مکانیک کوانتومی از قبیل روش تابع گرین، روش اسموث و روش جابجایی فاز میتوان اشاره کرد، که در این روشها بازه انرژی به دو ناحیه تقسیم میشود، ناحیه انرژی پیوسته و نواحی انرژی مقید که بیشتر تمرکز روی نواحی پیوسته است.
یکی دیگر از روشها در بررسی چگالی تراز تکذرهای روش نیمه کلاسیکی میباشد که در این روش از ميدان متوسط براي محاسبات استفاده شده است، که ميدان متوسط نوترون شامل جملات پتانسیل هستهاي و برهمکنش اسپین مدار و برای پروتون علاوه بر این جملات، پتانسیل كولني را نیز دربرمیگیرد. تاکنون برای محاسبه چگالی تراز تک ذرهای با استفاده از روش نیمه کلاسیکی پتانسیلهای مختلفی برای هستههای كروی و تغيير شكل يافته پیشنهاد شده است که از جمله آنها به پتانسیل چاه مربعی متناهي و نامتناهي، پتانسیل نوسانگر هماهنگ و پتانسیل وودز-ساکسون میتوان اشاره کرد. در روش محاسبه مستقیم پارامتر چگالي تراز با استفاده از این روش، انتخاب پتانسیل میدان میانگین برای بدست آوردن چگالی تراز تک ذرهایg و مقدار آن در انرژی فرمی نقش تعیین کنندهای دارد[1].
انرژی فرمی بصورت انرژی بالاترین حالت تک ذرهای پرشده در حالت پایه هسته تعریف میشود. مقدار انرژی فرمی برای پروتون و نوترون متفاوت است[2].در هستههای سنگین به دلیل نزدیک شدن ترازها به همدیگر و همپوشانیهای آنها تمایز بین ترازها سخت میباشد و با افزایش انرژی، ترازها بیشتر بهم نزدیک میشوند. به همین دلیل چگالي تراز براي هستههاي سنگين دارای اهمیت قابل توجهی است. چگالي تراز یکی از پارامترهای مهم ساختار هسته به حساب میآید که با استفاده از آن سایر پارامترهای ترمودینامیکی هسته از قبیل دما، آنتروپی، فشار و ظرفیت گرمایی را میتوان بدست آورد[3,4].بطوركلي برای محاسبه چگالي تراز از دو روش مستقیم وغیر مستقیم استفاده میشود. در روش غیرمستقیم با محاسبه آنتروپی و تابع پارش هسته و با استفاده از رابطه بین آنتروپی و چگالی تراز هستهای، چگالي تراز محاسبه میشود. به عنوان مثال به مدلهاي آماري BCS ، SMMC و SPA+RPA میتوان اشاره کرد[5-7].
در محاسبه چگالی تراز بطور مستقیم از روشهای آماری که به صورت تئوری ارائه میشوند استفاده میشود. به عنوان مثال به مدلهای آماری CTM ، FGM ، BSFGM و GSM می توان اشاره کرد. در این مدلها پارامتر چگالی تراز بطور تئوری و نیمه تجربی محاسبه میشود. در بسیاری از مطالعات مربوط به محاسبه برهمکنشهای هستهای، فرمولهای تحلیلی مربوط به چگالي تراز ترجیح داده میشوند[3,8-10].
در این مدلها پارامترهای چگالی تراز بطور تئوری و نیمه تجربی محاسبه میشوند. در بسیاری از مطالعات مربوط به محاسبه برهمکنشهای هستهای، فرمولهای تحلیلی مربوط به چگالي تراز ارجعیت دارند.
در مدل دمای ثابت،CTM بازه انرژی به دو بخش تقسیم میشود که در بخش انرژیهای پایین از ثابت بودن دما میتوان استفاده کرد و در انرژیهای بالا مدل گاز فرمی مورد استفاده قرار میگیرد. مسئله اصلی در این مدل ایجاد ارتباط بین نواحی کم انرژی و نواحی انرژی بالاست. اين مدل پدیدهشناختی براساس فرمول بت که در آن برهمکنشهای هستهای لحاظ نمیشود، بنا شده است[11].
سادهترین بیان تحلیلی برای بررسی چگالي تراز مدل گاز فرمی است که در آن هستهها بدون برهمکنش در نظر گرفته شده واز اثرات تجمعی صرفنظر میشود. مدل BSFGMبا اعمال برخی اصلاحات در مدل گاز فرمی و با درنظرگرفتن جفت شدگیهای نوکلئونی در بر همکنشهای هستهای، ارائه شده است، این مدل در همهی انرژیها برای بررسی چگالي تراز مورد استفاده قرار میگیرد.
در مدل BSFGM چگالي تراز هستهاي دارای دو پارامتر چگالی تراز تک ذرهای و انرژی جابجایی برانگیختگی است. معمولا این پارامترها به عنوان پارامترهای قابل تنظیم از طریق برازش دادههای تجربی تعیین میشوند. اگرچه برای محاسبه پارامتر چگالي تراز، به جز برازش از مدلهای مختلف هستهای مثل مدل قطره مایع، مدل لایهای و رابطه نیمه تجربی نیز میتوان استفاده کرد و این پارامتر را بطور مستقیم محاسبه نمود.
مدلهای هستهایمدلهای هستهای تقریبها و فرضهایی هستند که برای شناخت ساختار هسته و نیروی هستهای و بر اساس شواهد تجربی معرفی میشوند و به دو دسته تقسیم میشود مدلهای نیمه کلاسیکی (Semi-classical models) یا مدلهای ذرهای مانند مدل قطره مایع (Liquid drop model) و مدلهای کوانتومی (quantum mechanics models) مثل مدل لایهای (Shell model).
1-2مدل قطره مایعبا توجه به اینکه در هسته هر نوکلئون با نوکلئونهای مجاور خود برهمکنش میکند و به هر نوکلئون از اطراف توسط نوکلئونهای مجاور نیرو وارد میشود، در نتیجه نوکلئونهای داخل هسته را می توان در حال حرکت فرض کرد. در ضمن نیروی هستهای ضمن اینکه جاذبه است، دارای یک جمله دافعه نیز میباشد که نوکلئونها را در یک فاصله معینی از همدیگر نگه می دارد. با توجه به اینکه وضعیت نوکلئونها در هسته مانند وضعیت مولکولها در مایع میباشد ماده هستهای را میتوان سیال هستهای نامید. هر نوکلئونی که در نزدیکی لایهی هستهای قرار دارد نیروی خالصی به سمت داخل احساس میکند به طوری که موجب میشود سطح خارجی خود را به کمترین مقدار سازگار با حجم خود تغییر دهد. شکل هندسی که این سازگاری را دارد کروی است. بنابراین شکل هسته را بصورت کروی میتوان فرض کرد. با توجه به این توضیحات میتوان هسته را مانند یک قطره مایع در نظر گرفت.
انواع مدلهای تجمعی هستهای (Collective model) همانند مدل دورانی (Rotational model) و مدل ارتعاشی (Vibrational model) در محاسبات از مدل قطره مایعی استفاده میکنند. با توجه به این اصل که دوران و ارتعاش هسته بطور کامل مشابه دوران و ارتعاش یک قطره مایع معلق میباشد.
1-3 مدل لایهایمدل لایهای یکی از مدلهای هستهای به حساب میآید که با در نظر گرفتن پتانسیل ميدان متوسط و پتانسيل ناشي از برهمکنش نوکلئونها، ترازهای نوترون و پروتون هسته را با دقت بالایی نتیجه میدهد. فرض اساسی در مدل لایهای این است که علیرغم جاذبه شدید بین نوکلئونها که انرژی بستگی کل هسته را ایجاد میکند حرکت هر نوکلئون در واقع مستقل از نوکلئونهای دیگر است، اگر تمام جفت شدگیهای بین نوکلئونی یا تمام برهمکنشهای زوجیت نادیده گرفته شوند، مدل لایهای را مدل لایهای تک ذرهای میگویند. بنابراین در مدل لایهای تک ذرهای هر نوکلئون در پتانسیل متوسط یکسان با سایر نوکلئونها حرکت میکند. بنابراین انتخاب یک پتانسیل هستهای مناسب مهم است. پتانسیل هستهای مناسبی که بتوان نوکلئونها را تحت آن پتانسیل در ترازهای انرژی قرار داد بایستی بتوانند نظام هسته را توجیه کند و با آزمایش و تئوری هماهنگ باشد. پتانسیلهای هستهای معرفی شده عبارتند از پتانسیل کروی، پتانسیل چاه مربعی متناهي و نامتناهي، پتانسیل نوسانگر هماهنگ و پتانسیل وودز-ساکسون.
با اعمال پتانسیل چاه مربعی و نوسانگر هماهنگ ترازها به صورت تبهگن بدست میآیند. پتانسیل شعاعی وودز-ساكسون به همراه پتانسیل ناشی از برهمکنش اسپین مدار ترازهای هستهای و اعداد جادویی را که نشان دهنده لایههای بسته هستهای هستند به درستی نتیجه میدهد[13].
با حل معادله شرودینگر برای پتانسیلهای میدان میانگین، بدون در نظر گرفتن جفتشدگی نوکلئونها، ترازهای انرژی و معادله موج نوکلئونی بدست میآید. ترازهای انرژی تک-نوکلئونی نوترونی و پروتونی بعنوان يك پارامتر اساسي در تعيين پارامترهاي ترموديناميكي هسته از قبیل دما، آنتروپی، فشار و ظرفیت گرمایی نقش ایفا میکنند. چگالی تراز هستهای بصورت تعداد ترازهای هسته در واحد انرژی برانگیختگی مؤثر تعریف میشود.
در فصل دوم این پژوهش، به بررسی چگالی تراز تک ذرهای و روشهای مختلفی که در بررسی چگالی تراز تک ذرهای دارای اهمیت اند پرداخته ایم. در فصل سوم چگالی تراز هستهای و مدلهایی که در آنها پارامترهای چگالی تراز بطور تئوری و نیمه تجربی محاسبه میشوند معرفی شدهاند و همچنین شیوههای برازش و اثرات تجمعی نیز ارائه شدهاند. در نهایت در فصل چهارم پارامتر چگالی تراز در مدل BSFGM بصورت تابعي از چگالي تراز تك ذرهاي با استفاده از مدل نيمه كلاسيكي براي پتانسيلهاي نوسانگر هماهنگ، چاه پتانسیل مربعی و پتانسیل وودز-ساکسون برای تعدادی از هستههای سبک، متوسط و سنگین محاسبه شده اند و نتایج بدست آمده با نتایج سایر روشها مقایسه شده است.
فصل دومچگالی تراز تک ذرهای
چگالی تراز تک ذرهاییکی از اجزا مهم در بررسی ساختار هسته و برهمکنشهای هستهای چگالی تراز تک ذرهای، g میباشد که به میدان متوسط هستهها وابسته شده است. از چگالی تراز تک ذرهای در محاسبه چگالی تراز هستهای ρ که برای توصیف برهمکنشهای هستهای و خصوصیات ترمودینامیکی آن مورد نیاز است، استفاده میشود. در روش محاسبه پارامتر چگالي تراز با استفاده از مدل لایهای، g چگالی تراز تک ذرهای، نقش تعیین کنندهای دارد. بطور خاص چگالی تراز تک ذرهای که با روش تصحیح لایهای تعریف شده است، یکی از عناصر اصلی در محاسبه انرژیهای حالت پایه و تغییر شکل هستههای سرد میباشد.
برای بررسی کمیتهای بالا دانستن چگالی تراز تک ذرهای در بازه بزرگی از انرژی E که شامل نواحی پیوسته و مقید است، مورد نیاز است. برای توصیف خواص هسته، محاسبه چگالی تراز در نواحی پیوسته بسیار اهمیت دارد و بطور خاص برای هستههای برانگیخته این اهمیت بیشتر هم میشود.
در مرجع [13] چگالی تراز تک ذرهای جزیی glE و چگالی تراز تک ذرهای کل gE معرفی شدهاند که چگالی تراز تک ذرهای کل بصورت جمع روی glE چگالی تراز تک ذرهای در نواحی lmax≤40 میباشد، که این بازه به چاههای پتانسیل متناهی مربوط میشود. در محاسبه چگالی تراز تک ذرهای از روشهای مختلفی استفاده شده است که از آن جمله روش جابجایی فاز، روش اسموث، روش تابع گرین و روش نیمه کلاسیکی را میتوان نام برد که در ادامه به تفصیل معرفی میشوند.
با در نظر گرفتن یک ذره مانند نوکلئون که در یک پتانسیل کروی تک ذرهای (میدان متوسط) درحال حرکت است هامیلتونی، H چنین ذرهای به شکل زیر تعریف می شود
(2-1) H=P22m+Vrچگالی تراز تک ذرهای متناظر با آن با رابطه زیر معرفی می شود
(2-2) gE=TrδE-Hکه در آن Vr پتانسیل میدان متوسط هستهای و m جرم نوکلئون میباشد. برای یک چاه پتانسیل نامتناهی، مقادیرویژه انرژی حالت مقید Hو چگالی تراز تک ذرهای gE بصورت زیر معرفی می شود
(2-3) gE=iδE-Eiکه در آن Eiها ویژه توابع انرژی میباشند که با استفاده از رابطه زیر حاصل میشوند
(2-4) Hψi=Eiψi.
در بررسی چگالی تراز تک ذرهای طیف مربوط به تک ذره به دو ناحیه تقسیم میشود، حالتهای مقید در E≤0 و حالتهای پیوسته E>0 که مقید نیستند و بیشتر تمرکز روی نواحی پیوسته است. اگر سیستمی را بصورت یک ذره در جعبه کروی نامتناهی با شعاع R بزرگتر از بازهی Vr در نظر بگیریم که رابطه (2-1) توصیف کننده آن است، بایستی پیوستگی را از آن مجزا کنیم. چگالی تراز تک ذرهای که با استفاده از معادلات (2-3) و (2-4) تعریف شده است به R وابسته است و برای E>0 چگالی تراز تکذرهای با افزایش R افزایش مییابد. این رابطه به سهم به اصطلاح چگالی تراز تک ذرهای گاز آزاد gFE در چگالی تراز تک ذرهای gE بستگی دارد که با استفاده از هامیلتونی ذره آزاد H0 محاسبه میشود، این هامیلتونی با رابطه زیر تعریف میشود
(2-5) H0=P22m.
در نتیجه چگالی تراز تک ذرهای که به چاه پتانسیل متناهی Vr وابسته است بصورت زیر معرفی میشود
(2-6) gE=limR→∞gvE-gfEکه در آن gv با استفاده از هامیلتونی H و gf با استفاده از هامیلتونی H0 محاسبه می شوند. با درنظرگرفتن اندازه حرکت زاویهای، چگالی تراز تک ذرهای بصورت رابطه زیر تعریف میشود
(2-7) gE=limR→∞l=0lmaxglEکه در آن glE شامل 22l+1 فاکتور است که تبهگنی را نشان میدهد و به اسپین و پتانسیل کروی مربوط میشود[14].
2-1 روش جابجایی فازروش جابجایی فاز یکی از روشهایی است که در بررسی چگالی تراز تک ذرهای بسیار مورد استفاده قرار میگیرد. در این روش چگالی تراز تک ذرهای glE به صورت حاصل جمع دو بخش تعریف میشود
(2-8) glE=gBlE+gClEکه در آن gBlE سهم مربوط به حالتهای مقید میباشد که از هامیلتونی H با ویژه انرژیهای Enl حاصل میشود. و با رابطه زیر تعریف میشود
(2-9) gBlE=Enl≤022l+1δE-Enl.
برای توصیف سهم مربوط به حالتهای پیوسته gClE، سیستمی بصورت یک جعبه کروی بزرگ با شعاعR در نظر گرفته میشود که در آن جوابهای منظم ψl هامیلتونی H برای E>0 در حالتهای مقید ψl0=0 میباشد و برای دیگر حالات رابطه زیر معرفی شده است
(2-10) ψlrr→∞→const1rsinkr-12lπ+δlEکه در آن k=2mEħ2 عدد موج است و δlE جابجایی فاز میباشد. در این رابطه Vr یک پتانسیل در بازهی محدود فرض شده است که در بینهایت سریعتر از 1r میرا میشود. ویژه حالتهای با E>0 با استفاده از حالتهایی که درآن ψlR=0 است، بدست آمدهاند که به رابطه زیر منجر میشود
(2-11) kR-12lπ+δlE=sπدر رابطه (2-11) s عدد صحیح است. در نتیجه چگالی تراز کل از رابطه زیر بدست میآیند
(2-12) gCltotE=22l+1dsdE=1π22l+1dδlEdE+22l+1πRdkdEجمله دوم در معادله بالا که با R متناسب است مربوط به سهم گاز آزاد ناشی از هامیلتونی H0 است که با استفاده از یک جمله کروی با شعاع Rبدست آمده است. با کم کردن بخش مربوط به گاز آزاد رابطه زیر برای چگالی تراز تک ذرهای بدست می آید
(2-13) gClE=1π22l+1dδldE.
با توجه به اینکه چگالی تراز تک ذرهای که با معادلات (2-4)،(2-5)و(2-9) معرفی میشود مستقل از Rاست و ψlR ارائه شده برای rهای بزرگتر از بازه پتانسیل معرفی شده است، بنابراین جابجایی فاز به درستی تعریف شده است.
همانطور که مشاهده میشود رابطه (2-9) با تغییراتی در سهم مربوط به حالتهای مقید رابطه (2-5) درمورد حالتهایی با عمر طولانی با ГR→0 حاصل شده است که در آن ГRپهنای تشدید برای حالتهای متناظر با انرژی ER است.
برای جابجایی فاز δE در نواحی نزدیک انرژی ER رابطه زیر را داریم
(2-14) δE≈δ0+arctanГR2ER-Eکه در آن δ0 یک مقدار ثابت است و در ГR→0 ازرابطه زیر بدست می آید
(2-15) .dδdE=ГR2ER-E2+ГR22≈πδE-ERیک رابطه بسیار کاربردی بین جابجایی فاز در انرژی صفر δl0و تعداد حالات مقید NL بصورت
(2-16) δl0-δl∞=Nlπمی باشد که درآن Nl تعداد حالتهای مقید برای معادله شرودینگر کاهش یافته شعاعی به ازای رابطه ulr=rψlr میباشد[15]
(2-17) d2uldr2-ll+1r2+2mħ2Vr-k2ul=02-2 روش تابع گریندر بررسی چگالی تراز تک ذرهای روش تابع گرین نیز یکی از روشهای پرکاربرد میباشد. در این روش برای بررسی glE سیستمی بصورت یک جعبه کروی بزرگ با شعاع R بطوریکه در آن پیوستگی مجزا شده است، در نظر گرفته میشود. بنابراین تابع گرین تکذرهای که به هامیلتونی Hوابسته است توسط رابطه زیر معرفی میشود
(2-18) H-EGr,r,E=δr-rکه تابع گرین با نمایشی بصورت زیر معرفی میگردد
(2-19) Gr,r,E=nφn*rφnrEn-Eدر این رابطه φnها حالتهای تک ذرهای مقید متناظر با ویژه انرژیهای En میباشند. همچنین تعریف مشابهی برای G0r,r,Eبصورت وابسته به هامیلتونی H0 ارائه میشود. با در نظر گرفتن بخش موهومی Gr,r,Eو G0r,r,E و جداکردن اجزا زاویهای آنها، چگالی تراز تک ذرهای باتوجه به معادله (2-4) از رابطه زیر بدست میآید
(2-20) glE=limα→0,R→∞22+11π0RdrImGlr,r,E+iα-ImG0lr,r,E+iαr=rتوابع گرین Glr,r,Eو G0lr,r,E معرفی شده در معادله بالا بصورت زیر تعریف میشوند
(2-21) Glr,r,E=-2mћ2ulr<vlr>Wدر این رابطه r<و r> به ترتیب دارای مقادیر کوچکتر و بزرگتر از r و rمیباشند. توابع ul و vl به ترتیب جوابهای منظم و نامنظم برای معادله شعاعی (2-17) میباشند که به هامیلتونی H وابستهاند و W مساوی 4πR است.
تابع گرین تک ذرهای برای ذرات آزاد بدون اسپین در حالت خاص پتانسیل Vr=0 بصورت رابطه زیر بدست میآید
(2-22) G0r,r,E=-2mħ2expikR4πRکه در آن R=r-r است.
در نتیجه با توجه به معادلات (2-22) و (2-24) چگالی تراز تک ذرهای برای ذره آزاد بصورت زیر تعریف میشود[16]
(2-23) g0E=14π22mћ232E.
2-3 روش هموارنتایج حاصل از تصحیح لایهای روش استروتینسکای، در مدل لایهای که به اصطلاح روش میکروسکوپیک-ماکروسکوپیک نامیده میشود، موجب شد که اصلاحاتی را در پیشبینی جرم هستهها و محاسبات مربوط به هسته های شکافت پذیر بتوان اعمال کرد. این مدل شامل ترکیبی از مدلهای قطره مایع و تصحیح لایهای است، در مدل قطره مایع انرژی E به آرامی با تعداد نوکلئونها N و Z تغییر میکند در صورتیکه در تصحیح لایهای این تغییرات به تندی صورت میگیرد.
در این روش gME به صورت یک تقریب چند جملهای از درجه M برای چگالی تراز واقعی درنظر گرفته شده است.
این تقریب در حوالی نقطه λ (که تراز فرمی واقعی را بیان میکند) در یک بازهی موثر –γ+λ , γ+λ با استفاده از تابع گوسی e-E-λ2γ2 بکار گرفته میشود. به همین دلیل چند جملهای ذکر شده علاوه بر M به λ و γ نیز مرتبط است. بهترین تقریب برای این مدل چند جملهایهای خطی هرمیت میباشند که به صورت Hk در محاسبات وارد میشود.
در نتیجه برای چگالی تراز تک ذرهای متوسط در این روش رابطه زیر تعریف میشود
(2-24) gM,γE,λ=k=0MckHkE-λγبنابراین بایستی gM,γE,λ بر حسب چند جمله ای طوری معرفی شود که انتگرال زیر را کمینه سازد
(2-25) Iλ,M,γ=-∞∞g0E-gM,γE,λ2exp-E-λγ2dEدر مرجع [20] این کمینه سازی از طریق برازش مجذور مربعی انجام شده است. این روش را که در فصل بعدی به تفصیل توصیف خواهیم نمود، براساس کمینه سازی روابط بالا نسبت به ck با استفاده از خاصیت اورتوگنالیتی چند جملهایهای هرمیت انجام میگیرد.
(2-26) gM,γE,λ=m=0McmHmE-λγcmλ,γ=1m!2mπn=0∞Hmun1γexp-un2 un=En-λγ در معادله (2-26) λ به صورت ثابت فرض میشود و چند جملهای gM,γE,λ تنها در نواحی E~λ مقدار چگالی تراز واقعی را ارضاء میکند. بنابراین برای رفع این مشکل لازم است λ به صورت یک متغیر درنظر گرفته شود.
از آنجا که ثابت cm در معادله (2-26) به λ وابسته است و کمییت gM,γE,λ تنها یک چند جملهای از λ نیست، واضح است که چگالی تراز در روش استروتینسکای یک چند جملهای واقعی نیست. در نتیجه با اعمال اصلاحات و جایگزینی λ با E روابط زیر برای این روش بدست میآید
(2-27) gM,γλ=n=0∞FMUn, un=En-λγ,FMx=PMx1γexp-x2, PMx=m=0MAmHmx, Am=Hm0m!2mπکه در آن چند جملهای PM ترم تصحیح انحنا میباشد و برای چگالی تراز تک ذرهای در روش هموار رابطه زیر معرفی شده است
(2-28) gM,γE,λ=-∞∞g0EFME-λγdEواضح است که وقتی M به بینهایت افزایش یابد و یا γ به سمت صفر میل کند، gM,γE,λ نیز به سمت g0E میرود. این روش اگر چه خیلی مناسب است ولی ضعفهایی هم دارد از جمله اینکه به نتایج حاصل از دو پارامتر γ پهنا و M مرتبه وابسته است و با پیوستگی در پتانسیلهای واقعی مشکل دارد[17].
2-4 روش نیمه کلاسیکی
یک سیستم N فرمیونی بدون برهمکنش در نظر بگیرید که در دمای صفر قرار دارد بطوریکه فرمیونها در یک پتانسیل تک جسمی معین درحال حرکت باشند. برای توصیف بخش هموار انرژی از تابع پارش به صورت زیر استفاده میشود
(2-29) Zβ=Trexp-βHسادهترین راه برای اعمال اثرات لایهای جایگزین کردن تابع پارش کلاسیکی به جای تابع پارش معرفی شده دررابطه (2-29) میباشد که در آن H هامیلتونی موجود در رابطه نیز با هامیلتونی کلاسیکی جایگزین میگردد. این جابجایی به رابطه نیمه کلاسیکی منجر میشود که به رابطه توماس- فرمی نیز معروف است.
در روش نیمه کلاسیکی از یک روش بسطی برای تابع پارش باتوجه به نمای ℏ ثابت پلانک استفاده میشود که درآن جمله اول بسط به تابع پارش کلاسیکی مربوط میشود، جزئیات این روش را در مراجع [18,22] میتوان یافت. در این روش تا نمای چهارم ℏ در بسط استفاده میشود. در نهایت با استفاده از بسط نیمه کلاسیکی برای تابع پارش رابطه زیر بدست میآید
(2-30) Z4β=β-324π322mħ232dr exp-βV1-β2ħ224m∇2V+β31440ħ22m2-7∇4V+5β∇2V2+β∇2∇V2 .
چگالی تراز تک ذرهای نیمه کلاسیکی بطور مستقیم از تابع پارش نیمه کلاسیکی با استفاده از لاپلاس معکوس محاسبه میشود
(2-31) g=ГE-1Z4βدر نهایت رابطه زیر برای چگالی تراز تک ذرهای در روش نیمه کلاسیکی حاصل می شود[18](2-32) gE=12π22mћ232drE-VrθE-Vrکه در آن θE تابع پلهای میباشد. برای توجیه خواص هستهای از طریق مدل لایهای ابتدا باید یک پتانسیل هستهای تعریف کنیم که با این مدل مطابقت داشته باشد و بتواند ترازهای انرژی و لایهها را بطور دقیق مشخص کند. یکی از پتانسیلهای هستهای ابتدایی و متناسب با مدل لایهای پتانسیل چاه مربعی متناهی است که بصورت زیر تعریف میشود[23]
(2-33) VSQr=-V0 r<R0 r>R.
از آنجا که با صرف انرژی متناهی یک نوکلئون را از هسته میتوان خارج کرد، بنابراین پتانسیل چاه مربعی باید دارای عمق متناهی باشد که در رابطه بالا V0نشاندهنده عمق چاه میباشد که در مراجع مختلف روابط مختلفی برای آن ارائه شده است و رابطهای که در این مطالعه از آن استفاده شده بصورت زیر تعریف میشود
(2-34) V0=47±33N-ZAکه درآن علامت مثبت مربوط به پروتون و علامت منفی مربوط به نوترون است.
با جایگذاری پتانسیل رابطه (2-33) و (2-34) در رابطه (2-32) چگالی تراز تک ذرهای مربوط به چاه مربعی متناهی بصورت زیر بدست میآید
(2-35) gE=12π22mħ2324πR033E-V0θE-V0در شکل (2-1) برای هسته 56Fe چگالی تراز تک ذرهای مربوط به روش نیمه کلاسیکی (روش توماس فرمی) برای چاه پتانسیل متناهی در بازه انرژی رسم شده است

شکل (2- SEQ شکل_2- \* ARABIC 1) نمودار چگالی تراز تک ذرهای نوترونی با استفاده از روش نیمه کلاسیکی برای چاه پتانسل مربعی برحسب انرژی [16]همانطور که از شکل (2-1) مشخص است در نواحی انرژی مقید با افزایش انرژی چگالی تراز تکذرهای نیز افزایش مییابد در حالی که در نواحی پیوسته با افزایش انرژی چگالی تراز تک ذرهای کاهش مییابد و اثرات پیوستگی روی چگالی تراز تک ذرهای به خوبی در مدل نیمه کلاسیکی نمایش داده شده است.
اشکال عمده چاه مربعی در این است که دارای لبه تیز است در حالی که پتانسیل هستهای فاقد لبه تیز بوده و به تدریج صفر میشود. پتانسیل نوسانگر هماهنگ نیز بصورت زیر تعریف میشود
(2-36) VHOr=12mω2r2-VOکه در این رابطه V0عمق چاه و ω فرکانس نوسان است. و شکل این پتانسیل بصورت (2-2) میباشد.

شکل (2- SEQ شکل_2- \* ARABIC 2) نمودار پتانسیل نوسانگر هماهنگ[24]با جایگذاری رابطه (2-36) در معادله (2-32) چگالی تراز تک ذرهای مربوط به پتانسیل نوسانگر هماهنگ بصورت زیر بدست میآید
(2-37) gHOE=E-V02ħω31-1-2πarcsinV0E-V0+43πV0E-V032EE-V0+2πV0E-V0EE-V0θE
این درحالی است که پتانسیل نوسانگر هماهنگ نسبت به چاه مربعی به آرامی تغییر میکند و دارای لبه کاملاً تیز نمیباشد بطوریکه انرژی جداسازی در آن بینهایت میشود. از سوی دیگر در یک هسته فاصله بین ترازها یکسان نیست درحالی که در نوسانگر هماهنگ فاصله بین ترازها یکسان است ولی در چاه مربعی این طور نیست.
باتوجه به نکات ذکر شده پتانسیل ابتدایی دیگری بصورت شکل(2-3) برای هسته معرفی شده است که یک چاه پتانسیل مربعی بالبه گرد شده است و به آن پتانسیل وودز-ساكسون گفته میشود، که به پتانسیل بینابینی نیز معروف است این پتانسیل براساس شکل چگالی ماده هستهای برحسب فاصله از مرکز هسته ارائه شده و با رابطه زیر معرفی میشود
(2-38) VWSr=-Vo1+expr-Raکه در آن R شعاع هسته و a پارامتر ضخامت سطح میباشند و V0عمق چاه است که بصورت زیر تعریف می شود
(2-39) V0=51±33N-ZAکه درآن علامت مثبت مربوط به پروتون و علامت منفی مربوط به نوترون است. پتانسیل وودز-ساکسون در شکل (2-3) رسم شده است.

شکل (2- SEQ شکل_2- \* ARABIC 3) نمودار پتانسیل وودز-ساکسون بصورت تابعی از فاصله از مرکز هسته[24]در محاسبه چگالی تراز تک ذرهای با روش نيمه كلاسيكي برای پتانسیل وودز-ساکسون جمله مربوط به برهمکنش اسپین مدار درنظر گرفته نشده است و همانطور که از معادله (2-32) مشخص است در روش نيمه كلاسيكي با استفاده از پتانسیلهای میدان متوسط هسته، چگالي تراز تک ذرهای بصورت تابعی از انرژی تک نوکلئونها تعیین میشود.
برای هسته 56Fe نمودار چگالی تراز برحسب انرژی با اعمال پتانسیل وودز-ساکسون در روشهای نیمه کلاسیکی و روش هموار در شکل (2-4) رسم شده است.

شکل (2- SEQ شکل_2- \* ARABIC 4) نمودار چگالی تراز تک ذرهای نوترونی برحسب انرژی برای پتانسیل وودز-ساکسون خطوط نقطه چین مربوط به روش نیمه کلاسیکی و دیگری روش هموار [16]همانطور که از شکل (2-4) نیز مشخص است برای هر دو مدل روند تغییرات بر حسب انرژی مشابه یکدیگر است یعنی در نواحی انرژی مقید با افزایش انرژی، چگالی تراز تک ذرهای نیز افزایش مییابد، در حالی که در نواحی پیوسته با افزایش انرژی، چگالی تراز تک ذرهای کاهش مییابد.
چاه پتانسیل برای پروتونها و نوترونها متفاوت است، البته ترتیب ترازهای انرژی مربوط به آنها تا تراز نوکلئونی 50 یکسان است بعد از این تراز است که تفاوت آشکار میشود. چون برای این اعداد نوکلئونی نیروی دافعه کولنی بین پروتونها زیاد شده و با نیروی هستهای مقابله میکند.
بنابراین برای برانگیختگی پروتونها علاوه بر پتانسیلهای هستهای پتانسیل کولنی VCr نیز بایستی اعمال شود که بصورت زیر تعریف میشود
(2-40) VCr=Ze22R3-r2R2 r<RZe2r r>R.
با توجه به اینکه پتانسیل کولنی بر خلاف پتانسیلهای هستهای دارای مقادیر مثبت میباشد در نتیجه با اعمال این پتانسیل در محاسبات مقادیر چگالی تراز تک ذرهای کاهش مییابد.
از چگالی تراز تک ذرهای در محاسبه یکی از کمیتهای مهم NE تعداد حالتهای با انرژی کمتر از Eاستفاده می شود که رابطه بین آنها نیز بصورت زیر است
(2-41) NE=-∞EgE dE.
شکل (2-5) توصیف خوبی برای NE مر بوط به هسته 26Al ارائه میدهد. در این شکل خطوط پر رنگ به محاسبات تئوری انجام شده مربوط میشود و خطوط نازک مربوط به مقادیر تجربی است که از آزمایشات بدست آمده است.

شکل (2- SEQ شکل_2- \* ARABIC 5) نمودار تعداد حالتهای با انرژی کمتر از E بر حسب انرژی[25]چگالی تراز هستهای نیز با استفاده از چگالی تراز تک ذرهای قابل محاسبه است که در فصل بعد به آن خواهیم پرداخت. در این پژوهش در فصل چهارم به بررسی چگالی تراز تک ذرهای با استفاده از مدل نیمه کلاسیکی و با اعمال پتانسیلهای نوسانگر هماهنگ و پتانسیل وودز-ساكسون میپردازیم. همچنین مقایسهای بین نتایج حاصل ارائه خواهد شد.
فصل سومچگالی تراز هستهای
3-1 چگالی تراز هستهای و پارامترهای وابسته به آنبا افزایش انرژی برانگیختگی فاصله بین ترازها کاهش مییابد و ماهیت برانگیختگیها بسیار پیچیدهتر میشود. بطور کلی چگالی تراز هستهای بصورت تعداد ترازهای هسته در واحد انرژی برانگیختگی مؤثر بصورت زیرتعریف میشود[26]
(3-1) ρU=dNUdU
که در آن NU تعداد کل ترازها با انرژی کمتراز انرژی برانگیختگی U در یک هسته میباشد. بطور کلی چگالی ترازهسته وابسته به انرژی برانگیختگی U ، اسپین J و پاریته π بصورت زیر است
(3-2) ρU,J,π=PU,J,πfU,JρUکه در آن تابع ρU,J,π وابستگی چگالی تراز به پاریته، اسپین و انرژی برانگیختگی را نشان میدهد که با در نظرگرفتن توزیع یکسان برای پاریته مثبت و منفی بجای آن از مقدار 12 استفاده میشود. fU,J سهم توزیع اسپینی گاز فرمی است که با رابطه زیر تعریف شده است
(3-3) fU,J=2J+12σ2exp-J+1222σ2و σ2 موجود در این رابطه پارامتر قطع اسپین است که پهنای توزیع اندازه حرکت زاویهای گوسی را بیان میکند که در بخشهای بعدی بطور کاملتری توصیف خواهد شد.
در مطالعات اولیه روی چگالی تراز هستهای، a پارامتر چگالی تراز بصورت مستقل از انرژی در نظر گرفته میشد. سپس یک فرمول وابسته به انرژی با استفاده از جمله تصحیح میکروسکوپی فرمول جرم بصورت رابطه زیر تعریف شد
(3-4) a=aEx=a1+SZ,N1-exp-γUUکه در آن γ پارامتر میرایی است که نشان میدهد پارامتر چگال تراز چگونه به مقدار حدی خود a میرسد و بصورت رابطه وابسته به عدد جرمی معرفی شده است
(3-5) γ=γ1A13با استفاده از روابط (3-4) و (3-5) پارامتر چگالی تراز بصورت رابطه وابسته به انرژی زیر بدست می آید
(3-6) aEX=a1+SZ,N1-exp-γ1A13EX-UEX-Uکه در آن پارامتر SZ,N تصحیح لایهای است که بصورت اختلاف بین جرم آزمایشگاهی Mexp هستهها و جرمی که از مدل جرم قطره مایع کروی MLDM بدست میآید، تعریف میشود.
(3-7) SZ,N=Mexp-MLDMبرای محاسبه MLDM از روابط زیر استفاده شده است[27]
(3-8) MLDM=MnN+MHZ+Evol+Esur+Ecoul+δMn=8.07144 MeV, MH=7.28899 MeVEvol=-c1A, Esur=c2A23, Ecoul=c3Z2A13-c3Z2Aوci=ai1-kN-ZA2, i=1,2,a1=15.677 MeV, a2=18.56 MeV,k=1.79, c3=0.717 MeV, c4=1.21129 MeV,δ=-11A even-even,=0 odd, =11A odd-odd و تغییرات تصحیحات لایهای بر حسب عدد جرمی برای هستههای مختلف به صورت شکل (3-1) ارائه میشود[26]

شکل (3- SEQ شکل_3- \* ARABIC 1) تصحیح لایهای برحسب عدد جرمی برای هستههای مختلف[26]در مرجع[28] برای پارامتر چگالی تراز رابطه برازش شده زیر معرفی میشود
(3-9) a=π26g=π24(AEF)لازم به توضیح است که در فصل چهارم نمودار مربوط به این رابطه ارائه خواهد شد.
یکی از روابطی که برای پارامتر چگالی تراز تعریف شده است رابطه وابسته به انرژی زیر است که به چگالی تراز تک ذرهای در انرژی فرمی که در فصل قبل معرفی شده بود، وابسته است[29]
(3-10) a=π26gpEFP+gnEFnو در واقع رابطه بالا همان مقدار حدی پارامتر چگالی تراز a است و این آخرین پارامتری که برای محاسبه پارامتر چگالی تراز مورد نیاز است.
مقدار حدی پارامتر چگالی تراز وقتی که تمامی آثار لایهای ناپدید شده باشند محاسبه میشود و بطور کلی رابطه زیر برای آن تعریف میشود
(3-11) a=aEX→∞یعنی وقتی SZ,N=0 در هر انرژی برانگیختگی مقدار حدی پارامتر چگالی تراز با مقدار پارامتر چگالی تراز یکسان میباشد. از روشهای مختلفی برای تعریف مقدار حدی پارامتر چگالی تراز استفاده شده است، یکی از آنها همان رابطه (3-9) است که به چگالی تراز تکذرهای وابسته است. همچنین رابطهای از طریق برازش ترازهای جدا از هم و یا فاصله تشدید بصورت زیر تعریف میشود که در بخشهای بعدی در مورد شیوههای برازش تفسیر کاملتری ارائه خواهد شد[30]
(3-12) a=αA+βA23.
روش سوم در محاسبه مقدار حدی پارامتر چگالی تراز رابطهای است که با استفاده از مدل قطره مایع بصورت زیر بدست میآید[33]
(3-13) a=avol1+kvolN-ZA2A+asur1+ksurN-ZA2A23+aCoulZ2A-13.
در این پژوهش از رابطه (3-6) برای مقدار حدی پارامتر چگالی تراز استفاده شده است. در فصل بعد به بررسی بیشتر این پارمتر میپردازیم.
پارامتر قطع اسپین σ2 پهنای توزیع اندازه حرکت زاویهای در چگالی تراز را بیان میکند که به انرژی برانگیختگی وابسته میباشد. این پارامتر که وابسته به اندازه لختی I0 و دمای ترمودینامیکی هسته t=Ua میباشد از رابطه زیر بدست میآید
(3-14) σ2=σ∥2=I0tکه در آن نماد σ∥2 پارامتر قطع اسپین موازی را نشان میدهد که از تصویر اندازه حرکت زاویهای حالتهای تک ذرهای روی محور تقارن حاصل میشود. اگرچه از مطالعات چگالی تراز میکروسکوپی مشاهده میشود که کمیت σ2t یک مقدار ثابت نیست، ولی اثرات لایهای مورد نظر را به خوبی نشان میدهد.
پارامتر قطع اسپین گاز فرمی نیز از رابطه زیر بدست میآید
(3-15) σ2=σ∥2=σF2EX=I0aat.
با توجه به رابطه (3-6) برای مقدار حدی پارامتر چگالی تراز و با اعمال دمای هسته و با در نظر گرفتن رابطه I0=25μAR2ℏC2 که در آن μ جرم نوکلئون و R شعاع هسته میباشد، پارامتر قطع اسپین گاز فرمی مساوی σF2EX=0.01389A53aaU بدست میآید، همچنین رابطه σ2=0.0888A23at نیز برای پارامتر قطع اسپین ارائه شده است[31-33].
برای این پارامتر روابط مختلف دیگری نیز ارائه شده است که یکی از پرکاربردترین آنها رابطه زیر میباشد
(3-16) σ2=m2gpEF+gnEFtکه در آنgpEF و gnEF به ترتیب چگالی تراز تک ذرهای پروتونی و نوترونی در انرژی فرمی میباشند و t دمای هسته و U انرژی برانگیختگی است و a پارامتر چگالی ترازمیباشد[34].
m2 میانگین متوسط مربعی اسپین تک ذرهای میباشد که در نواحی انرژی فرمی محاسبه میشود و برای آن در مراجع مختلف با توجه به روشهای برازشی که مورد استفاده قرار میگیرد مقادیر متفاوتی ارائه شده است. بطور مثال در مرجع [35] رابطه m2=0.146A23 برای آن معرفی شده است که به میانگین متوسط مربعی تصویر اندازه حرکت زویهای روی کل ترازهای پرشده در حالت پایه هستهها مربوط میشود.
پارامتر قطع اسپین بصورت تابعی از عدد جرمی درشکل (3-2) رسم شده است

شکل(3- SEQ شکل_3- \* ARABIC 2) پارامتر قطع اسپین برحسب عدد جرمی برای مقادیر جسم صلب [35].
همانطور که مشاهده میشود در هر سه روش بطور کلی روند تغییرات یکسان است و با افزایش عدد جرمی پارامتر قطع اسپین نیز افزایش مییابد به جز در برخی موارد که در نواحی لایههای بسته و هستههای جادویی میباشد. در فصل چهارم با استفاده از رابطه (3-16) مقادیر مربوط به این پارامتر در جدولی ارائه میشوند و نمودار تغییرات پارامتر قطع اسپین برحسب عدد جرمی، دما و انرژی برانگیختگی نیز رسم خواهد شد.
در بخشهای بعدی به معرفی برخی مدلها پرداخته خواهد شد که در این مدلها برای محاسبه چگالی تراز بطور مستقیم از روشهای آماری که به صورت تئوری ارائه میشوند استفاده میشود.
.
3-2 مدل گاز فرمی (FGM)مدل گاز فرمی (FGM) بهترین بیان تحلیلی برای شناخت چگالی تراز است و اساس این مدل بر این است که حالتهای تکذرهای که ترازهای برانگیخته هستهها تشکیل میدهند دارای فاصله یکسانی از هم میباشند. در این مدل هستهها بدون برهمکنش در نظر گرفته شده واز اثرات تجمعی صرفنظر میشود در نتیجه برای چگالی تراز رابطه زیر تعریف میشود
(3-17) ρU=exp2aU122σa14U54که در آن a پارامتر چگالی تراز است که با استفاده از چگالی تراز تکذرهای g و یا از طریق برازش دادههای آزمایشگاهی با این فرض که چگالی تراز تک ذرهای مقدار ثابتی است تعریف میشود که در بخش مربوط به پارامتر چگالی تراز روشهای محاسبه آن بطورکامل ارائه شد.
مدل گاز فرمی یک مدل وابسته به انرژی است و در ادامه به بررسی این مسئله با جزئیات بیشتر پرداخته میشود. همچنین این مدل شامل انرژی برانگیختگی مؤثر U نیز میباشد که از رابطه زیر بدست میآید
(3-18) U=EX-∆انرژی جابجایی ∆ یک پارامتر تجربی است که برابر و یا در برخی مدلها تقریبأ به انرژی جفت شدگی EPair وابسته است که شامل اثری مشابه آثار زوج-فرد در هسته است. ایدهی اصلی براین واقعیت است که جفت شدگیهای نوکلئونها باید قبل از آنکه هر یک از اجزا بطور جداگانهای برانگیخته شوند، محاسبه شود. ∆ نقش مهمی را به عنوان پارامتر قابل تنظیم برای بازتولید مشاهده پذیر ها بازی میکند و تعریف آن در مدلهای مختلف میتواند متفاوت باشد. EX انرژی برانگیختگی واقعی است و بیانی برای وابستگی به ترازهای جدا از هم میباشد.
با در نظرگرفتن تصویر اندازه حرکت زاویهای کل چگالی تراز گاز فرمی از رابطه زیر بدست میآید
(3-19) ρU,J,π=122J+12πσ3exp-2J+122σ2π12exp2aUa14U54.
این مدل در نواحی انرژی برانگیختگی بالا دارای نقص میباشد و انطباق قابل قبولی را با دادههای آزمایشگاهی ندارد. با این وجود این مدل به عنوان اساس برای سایر مدلها در بررسی چگالی تراز هستهای محسوب میشود و سایر مدلها با اعمال برخی اصلاحات برمدل گاز فرمی ارائه میشوند[36].
3-3 مدل جابجایی گاز فرمی (BSFGM)مدل جابجایی گاز فرمی ( (BSFGMبا اعمال برخی اصلاحات در مدل گاز فرمی و با درنظرگرفتن جفت شدگیهای نوکلئونی در برهمکنشهای هستهای ارائه شده است. در این مدل برای چگالی تراز از همان رابطه (3-17) استفاده میشود با این تفاوت که در آن انرژی برانگیختگی مؤثر U به شکل زیر تعریف شده است
(3-20) U=EX-E1.
اختلاف مدل جابجایی گاز فرمی و مدل گاز فرمی در همین جمله جابجایی انرژی E1 میباشد که برای بدست آوردن نتایج بهتر جمله انرژی جفت شدگی نیز در آن لحاظ شده و در مراجع مختلف تعاریف متفاوتی برای آن ارائه شده است بطور مثال در مرجع [37,38] با رابطه زیر معرفی شده است
(3-21) E1=EPair+C1
که در آن C1 پارامتر جابجایی است و مقدار آن از رابطه C1=-6.6A-0.32 MeV بدست میآید و EPair انرژی جفت شدگی است که با رابطه زیر تعریف میشود
(3-22) Epair=χ112که مقدار χ برای هستههای زوج-زوج 1، برای هسته فرد-فرد -1 و برای هسته های زوج-فرد 0 میباشد.
برای تصحیحات لایهای مربوط به حالتهای پروتونی و نوترونی بر حسب Z و N شکلهای (3-3) و (3-4) آورده شدهاند.

شکل3- SEQ شکل_3- \* ARABIC 3 تصحیح لایهای نوترونی برحسب N، عدد نوترونی [28]
شکل 3- SEQ شکل_3- \* ARABIC 4 تصحیح لایهای پروتونی برحسب Z، عدد پروتونی [28]در این مدل a پارامتر چگالی تراز و E1 جابجایی انرژی برانگیختگی بصورت پارامترهای آزاد در نظر گرفته شدهاند که از طریق برازش برای هر هسته تعریف شدهاند، در جدول (3-1) تعدادی از این مقادیر برازش شده برای هستههای مختلف ارائه شده است.[39-41]
3-4 مدل جابجایی گاز فرمی با a وابسته به انرژی (BSFGM-ED)
مطالعات میکروسکوپیکی روی چگالی تراز نشان داده است که اثرات لایهای در انرژیهای برانگیختگی پایین بسیار قوی میباشند و در انرژیهای برانگیختگی بالا ناپدید میشوند. در مدل جابجایی گاز فرمی پارامتر چگالی تراز بصورت مستقل از انرژی در نظر گرفته شده است به این معنا که اثرات لایهای در انرژیهای بالا نیز همانند نواحی انرژی پایین همچنان اثرات خود را نشان میدهند. برای رفتار میرایی آثار لایهای، رابطه وابسته به انرژی پارامتر چگالی تراز (3-6) بایستی در نظر گرفته شود، که از رفتار میکروسکوپیکی چگالی تراز ناشی میشود و وابستگی پارامتر چگالی تراز a را به انرژی نشان میدهد.
در مرجع [39] رابطه (3-6) به صورت aU,Z,N=a1+SZ,N-∆U-E2fU-E2 در نظرگرفته شده است که در آن a همان مقدار حدی پارامتر چگالی تراز a در انرژیهای برانگیختگی بالا میباشد. برای تابع f رابطه زیر معرفی شده است
(3-23) fU-E2=1-exp-γU-E2که در آن SZ,N همان تصحیح لایهای میباشد، در نتیجه این مدل نیز شامل دو پارامتر آزاد a و E2 است. E2 جابجایی انرژی متناظر میباشد که در بخش مربوط به برازش، مقادیر برازش شده این پارامترها نیز ارائه شده است.
3-5 مدل دمای ثابت (CTM)مدل دمای ثابت (CTM) برگرفته از رفتار تجربی نواحی ترازهای انرژی جدا از هم و فرمول جابجایی گاز فرمی است که در بخش قبلی معرفی شده است. چگالی تراز هستهای در این مدل با استفاده از رابطه زیر بدست میآید[42]
(3-24) ρT=1TexpU-U0T.
این مدل دارای دو پارامتر آزاد دمای هسته Tوانرژی جابجایی E1 است که برای تنظیم فرمول با ترازهای جدا از هم آزمایشگاهی برازش میشود.
از رابطه (3-23) تنها در نواحی انرژی پایین استفاده میشود و در نواحی انرژی بالاتر از رابطه چگالی ترازهای مشاهده پذیر ρobs استفاده میشود که با رابطه زیر تعریف شده است
(3-25) ρobs=12πσρUکه درآن ρU مربوط به چگالی تراز گاز فرمی تغییر یافته است.
برای پارامتر قطع اسپین در مرجع [39] رابطه σ=0.98A0.29 زیر معرفی شده است که با استفاده از برازش حاصل شده است، فرمولهای وابسته a به پارامتر قطع اسپین برای این مدل مناسب نیست.
3-6 مدل ابر شاره (GSM)مدل ابر شاره (GSM) با استفاده از انتقال فازی از رفتار ابر شاره در انرژیهای پایین که در آن همبستگیهای جفت شدگی به شدت روی چگالی تراز هستهای اثرگذار میباشند به نواحی انرژی باالا که با استفاده از مدل گاز فرمی توصیف شدهاند، مشخص میشود.
این مدل تا حدودی به مدل دمای ثابت شباهت دارد، برای توصیف چگالی تراز در این مدل بازه انرژی به دو بخش نواحی انرژی پایین انرژی بحرانی UC و نواحی بالای این انرژی تقسیم شده است. برای نواحی پایین انرژی بحرانی رابطه زیر تعریف شده است
(3-26) ρtotEx=12πσcexpScDc.
انرژی بحرانی با استفاده از رابطه زیر تعریف میشود
(3-27) Uc=acTc2+Econdدر این رابطه Tc دمای بحرانی است که در مرجع [3] برای آن رابطه Tc=0.567 ∆0 ارائه شده است و ∆0 تابع همبستگی جفت شدگی است که از رابطه ∆0=12A بدست میآید.
همچنین این تابع همبستگی انرژی چگالش Econd را تعیین میکند که کاهش وابستگی فاز ابر شاره را به فاز گاز فرمی توصیف میکند و با رابطه زیر معرفی میشود
(3-28) Econd=32π2ac∆02که درآن ac پارامتر چگالی تراز بحرانی است و از معادله تکراری زیر بدست میآید
(3-29)



قیمت: 10000 تومان